Question

一道高中解析几何求直线方程的题目。

题目如下：一条直线过点P（1,2），且被两条平行直线L1:4x+3y+1=0和L2：4x+3y+6=0截取的线段长为√2（根号2），求这条直线的方程。

个人觉得这道题还是有点难度的，我快要升高二了这个是高考的练习题。
我已经做了一步关于斜率不存在的情况，现在做到斜率存在的情况，复杂啊。我把过程打上来，请高手帮我鉴别一下！！O(∩_∩)O谢谢！！

若直线L的斜率存在，设所求直线L的方程为：y=k(x-1)+2，而L与L1的交点，得，（即解方程组吗？）
y=k(x-1)+2
4x+3y-1=0 联立解得A（____,_____） 啊，这个方程解不出来了

L与L2的交点：
y=k(x-1)+2
4x+3y+6=0 。 联立解得交点B（___,___）同上，不会解= =！

∵|AB|=√2，
所以（x1-x2)+(y1-y2)=2
（此处X1为A点横坐标，X2为B点横坐标，以此类推）
解得k=___
即所求直线y=

我想请大家抽个时间帮我看看这么做对不对！不对请指出来，并列出一个详细解题过程！！我会追加分数！！谢谢大家~！！
还有 别的回答么？亲们？

Answer 1

你那样求解的话非常复杂，其实这个题是考的是直线夹角、两平行线之间距离问题。可以用三角函数的一些知识角之。首先画出图形分析。
1、先求两平行线这间的距离，很好求，不要去记公式，自己在L1上取一个点，求该点到L2的距离就行。我取的是（0，-1/3）.得到距离d=1。
2、求所求直线和L1的夹角，设所求直线、L1倾斜角分别为@0和@1。夹角为@。则有tan@0=k,tan@1=-4/3。化简tan@=tan(@1-a0)=(4+3k)/(3-4k)。从而得sin@=(4+3k)/[5(√k^2+1)]。（这里与sin@的正负性其实无关）。而sin@=d/线段长为√2得到等式，化简7k^2-48k-7=0。得k=7或者-1/7。为所求。
这个题看似很复杂，其实要是思路对了很快就做出了，我花了不到3分钟时间就OK了。这种解析几何的交轨问题的题时，一定避免去求解具体的交点坐标。比如你们将要学的圆锥曲线，到时候经见到直线和圆锥曲线交轨的题，那是高考的难点也是重要考点，那时一定不要求解具体交点坐标值，而用设而不求的方法，用韦达定理解。这是我总结的解析几何交轨问题的精髓思想，希望对你有用呵。

Answer 2

一楼已经说的很清楚了，我有一点补充：

---------------------如果用你的方法：---------------------

你应该把你列的两个方程中的k当成参数（当成已知），来解出用k表示的交点坐标，再用用两点距离公式算出用k表示的两点距离，这个距离等于根号2，就可以解出k了

你的k在最后一步之前，一直被当成已知

-------------------------点评------------------------------

用解析的方法去解解析几何题，是自热而然的。就像你一开始就去列方程，试图解出交点一样。恭喜你，你已经进入解析几何的思维方式了。

但是需要注意一点：对于简单的解析图形，如直线、圆，可以适当利用几何知识使得计算得到简化,如果直接用代数方法算比较麻烦，就要注意分析几何关系，看能简化计算不；对于复杂的图形，如椭圆、双曲线、抛物线等，只有他们的几何定义能够勉强简化一下一些题目，大部分时候需要代数啊、方程啊、计算啊。呵呵~~~~~