Question

高中极限问题，高手请进！！

设{an}为等比数列,q>0
(1)lim（a1+a2+...+an）/（a6+a7+...+an）
(2)lim（a1+a2+...+an）/(a1^2+a2^2+...+an^2)

Answer 1

⑴若q＝1，显然所求极限为na1/(n－5)a1＝n/(n－5)的极限，易知极限是1
q≠1时，所求的实际是Sn/(Sn－S5)的极限
Sn/(Sn－S5)
＝a1(q^n－1)/[a1(q^n－1)/(q1)－a1(a^5－1)/(q－1)]
＝(q^n－1)/(q^n－q^5)
若0＜q＜1，上述极限为1/q^5
若q＞1，则上式化成[1(1/q)^n]/[1－(1/q)^(n－5)]极限为1

⑵分子是以a1为首项，q为公比的等比数列，而分母则是以(a1)^2为首项，q^2为公比的等比数列
若q＝1，所求式子恒等于1/a1，因而极限为1/a1
若q≠1，则(a1＋a2＋...＋an)/(a1^2＋a2^2＋...＋an^2)
＝[a1(q^n－1)/(q－1)]/{(a1)^2[q^(2n)－1]/(q^2－1)}
＝(q＋1)/[a1(q^n＋1)]
当0＜q＜1时，极限为(q＋1)/a1
当q＞1时，极限为0