Question

求助3道高一数学题

一. 已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式

二.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点

三.若f(x)=x^2-x-b,f(log2a)=-b,log2f(a)=a,a≠1
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x的值
(2)x取何值时log2f(x)<f(1) 注:log2f(x)之类的对数函数中2为底数

有简略的过程就可以了,谢谢!!!!

Answer 1

一 已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式
解：设f(x)=ax^2+bx+c
由于f(x)+g(x)为奇函数
所以f(0)+g(0)=-{f(0)+g(0)}
所以f(0)+g(0)=0
化得：a*0^2+b*0+c-0^2-3=0
所以：c=3
有f(x)+g(x)为奇函数又可以推出：
对于任何的实数都有
f(x)+g(x)=-{f(-x)+g(-x)}
化得：-x^2-3+ax^2+bx+3=-{-x^2-3+ax^2-bx+3}
-x^2-3+ax^2+bx=x^2-3-ax^2+bx
所以（2-2*a）x^2=0
由于对任意的x属于R都成立
所以（2-2*a）=0
得：a=1
所以f(x)=x^2+bx+3
由于f(x)在[-1,2]存在最小值为1
二次函数的特征可以知道
要使得取得最小值
只有可能在对称轴上，或想x=-1或则x=2
假设在对称轴上
则有f（-b/(2a)）=f（-b/2）=(b^2/4)-(b^2/2)+3=1
得：b^2=8
b=+2*根号2，-2*根号2
-b/2*a=根号2或者-根号2
由于(-根号2)不在xx属于[-1,2]下
所以不可能取得即b=+2*根号2不满足
假设是在x=-1取得
代入f（-1）=1-b+3=1
所以b=3
则对称轴位置为—（b/2a）=-3/2
此时x属于[-1,2]都在对称轴的右边
所以x属于[-1,2]在x=-1处取的最小值满足
所以b=3可行
假设在x=2处取的最小值
则f（2）=4+2b+3=1
所以b=-3
此时对称轴-（b/2a）=3/2
此时对称轴在x属于[-1,2]之内
所以最小值应该在对称轴位置取得
与假设矛盾舍去
综上所述
f（x）=-x^2-2根号2x+3
或者f（x）=-x^2+3x+3

二.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点
解：f(1)=a+b+c=0 b=-a-c
a>0,c<0△=b^2-4ac=(-a-c)^2-4ac=a^2 - 2ac + c^2 =(a-c)^2
因为a>b>c a不等于c
所以(a-c)^2>0所以△>0
所以f(x)的图象与x轴有两个相异交点，故有两个零点

三.若f(x)=x^2-x-b,f(log2a)=-b,log2f(a)=a,a≠1
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x的值
(2)x取何值时log2f(x)<f(1) 注:log2f(x)之类的对数函数中2为底数

解: (1)∵f(x)=x^2-x+b, ∴f(log2a)=(log2a)^2-log2a+b.
由已知有 (log2a)^2-log2a+b=b, ∴(log2a-1)log2a=0.
∵a≠1,∴log2a=1.∴a=2
又 log2[f(a)]=2,∴f(a)=4
∴a^2-a+b=4,b=4-a^2+a=2. 故 f(x)=x^2-x+2,
从而 f(log2x)=(log2x)^2-log2x+2=(log2x-1/2)^2+7/4
∴当 log2x=1/2即x=根号2时，有最小值7/4
即 x= 2 时,f(log2x)有最小值
(2）由题意得log2x + 2 > 2 和log2(x^2-x+2)<2
得到x > 2或0 < x < 1
-1<x<2
所以x取0<x<1

Answer 2

1、g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数

所以g(x)、f(x)二次项系数和为0，（-3）+c=0（单调性及过原点）

所以f(x)=x^2+bx+3

当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1
b=±（2*根号2）（顶点法） b=2*根号2 舍去（区间最值）
所以f(x)=x^2-2（根号2）x+3

Answer 3

1：设f(x)=ax^2+bx+c,则f(x)+g(x)=（a-1）x^2+bx+c-3,因为f(x)+g(x)为奇函数，所以a=1,c=3,f(x)=x^2+bx+3，因为当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1，所以f(-1)>=1,f(2)>=1,解得-3<=b<=3,所以轴线为x=-b/2的范围为（-1.5,1.5）（闭区间，符号不好打），讨论当在（-1,1.5）时（此时最小值1是其最低点），求出b；当（-1.5,-1）时，最小值为f(-1)=1，求出b。
2：f(x)=ax^2+bx+c,若a>b>c,且f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2>0（因为a>c），所以两个解，即两个零点。
3：log2f(a)=a，又因为a≠1，所以a=2,因为f(log2a)=-b，所以b=-2，所以f(x)=x^2-x+2，最小值为7/4，此时log2x=1/2，x=根号2。log2f(x)<f(1)，此时0<x^2-x+2<1,无解，所以此时不存在x。

Answer 4

说实话，我真的很想帮你，但是无能为力。其实我对数学很感兴趣的，但是由于有2年没碰数学了，加上在大学也不用学数学，所以完全生疏了，有些含义都不知道啥意思，譬如奇函数就不知道是怎样的了，失败啊！