Question

平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB,AD,AA1两两夹角为60度，且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|=?

Answer 1

设平行六面体ABCD-A1B1C1D1，

作A1H⊥平面ABCD，垂足H，

再在平面ABB1A1上作A1M⊥AB，

在平面ADD1A1上作A1N⊥AD，

连结MH，NH，AH，

〈A1AM=<A1AN=60°,

AM=AN=AA1/2=3/2,

A1M=A1N=3√3/2,

根据三垂线定理，HM⊥AB，HN⊥AD，

△A1MH≌△A1HN，

HM=HN，

AH是〈DAB的平分线，

〈MAH=30°，

HM=AM/√3=√3/2，

A1H=√（A1H^2-HM^2)=√6,

平行六面体高为√6

AH=2HM=√3,

sin<A1AH=√6/3,cos<A1AH=√3/3,

在平行四边形ABCD中，作BE⊥CD，〈BCD=60°，

CE=BC/2=1，

BE=√3，

以A为原点，建立空间坐标系，

A（0，0，0），A1（3/2，√3/2，√6）

C(1+1,√3,0),

C1(2+3/2,√3+√3/2,√6)

C1(7/2,3√3/2,√6),

向量AC1=（7/2,3√3/2,√6),

|AC1|=√[（7/2）^2+(3√3/2)^2+(√6)^2]=5.