Question

一道关于截长补短的三角形几何题

如图，在△ABC中AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=90°-1/2∠BAC.
求证：AB=BD+DC.

Answer 1

证明:延长BD到E,使BE=AB,连AE,
因为∠ABD=60°
所以△ABE是等边三角形,
所以∠E=∠BAE=60°
在△ADE中,∠ADB=∠E+∠DAE
又因为∠ADB=90°-1/2∠BAC,
所以∠E+∠DAE=90-1/2∠BAC,
即60+∠DAE=90-1/2∠BAC,
30-1/2∠BAC=∠DAE
60-∠BAC=2∠DAE
(∠BAC+∠CAD+∠DAE)-∠BAC=2∠DAE
所以∠CAD=∠DAE,
AE=AB=AC
AD=AD
所以△ACD≌△AED
所以CD=DE,
即AB=BE=BD+DE=BD+CD

Answer 2

延长BD至E，使DE=DC，连AE、CE.

因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=90°-1/2∠BAC=∠ADB,

所以ABCD四点共圆.

∠ADC与∠ABC互补.

又∠ADE与∠ADB互补,∠ABC=∠ADB,

所以∠ADC=∠ADE,则

ΔADC≌ΔADE,AE=AC=AB,

∠AEB=∠ABE=∠ABD=60°,所以ΔABE是正三角形.

所以AB=BE=BD+DE=BD+DC,

即AB=BD+DC.

Answer 3

这题我做过
证明:延长BD到E,使BE=AB,连AE,
因为∠ABD=60°
所以△ABE是等边三角形,
所以∠E=∠BAE=60°
在△ADE中,∠ADB=∠E+∠DAE
又因为∠ADB=90°-1/2∠BAC,
所以∠E+∠DAE=90-1/2∠BAC,
即60+∠DAE=90-1/2∠BAC,
30-1/2∠BAC=∠DAE
60-∠BAC=2∠DAE
(∠BAC+∠CAD+∠DAE)-∠BAC=2∠DAE
所以∠CAD=∠DAE,
AE=AB=AC
AD=AD
∴△ACD≌△AED
所以CD=DE,
即AB=BE=BD+DE=BD+CD

Answer 4

一楼的应该把第一行的M换个字母，若改成N，以及倒数第三行及一下的M都相应换成N，证法也挺简单的。
二楼的四点共圆不大证得清楚，光由一对角相等条件还不够。

楼主若没学过相似可以用全等证明。（照我的辅助线作法与标注相同的字母）

辅助线：
过点D作FD垂直BD交BA的延长线于点F。
以AD为边在AD右侧作角EAD=角BAC交CD的延长线于点E

1.设角BCD=X，则角ADB=90-x/2，又由角ACD=60可得角CAD=30-x/2
2.由角BDF=90，角ADB=90-x/2，可得角ADF=x/2，再可得角BAD=30+x/2
3.由1，2得角BAC=x=角EAD
4.因为CDE为平角所以角ADE=90+x/2，连同3的结论可得角AED=90-x/2=角ADE
所以三角形ADE中，AD=AE

5.三角形ABD与三角形ACE中，
角BDA=角CEA=90-x/2
边AD=AE
角BAD=角CAE（由第二步辅助线所得）
两三角形全等，得出AB=AC