Question

已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x属于R)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围。

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围。（3）试问是否存在一条直线与曲线C 同时且于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）、求导：f’(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1

由任意点处的斜率就是f'（x），f’（x）的值域为〔-1，+∞）

所以曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围〔-1，+∞）

2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，则切线的斜率范围在〔-1，0）U〔1，+∞）

则就是f’（x）∈〔-1，0）U〔1，+∞）
得x∈（-∞，2-√2〕U（1，3）U〔2+√2，+∞）

即其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围为（-∞，2-√2〕U（1，3）U〔2+√2，+∞）

3）、这条直线是切线嘛？一下子还看不明白

Answer 2

（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2
，则切线方程是：y-( 1/ 3* x1³-2x1²+3x1)=（x1²-4x1+3）（x-x1），
化简得：y=（x1²-4x1+3）x+(-2/ 3 *x1³+2x1²)
而过B（x2，y2）的切线方程是y=（x2²-4x2+3）x+(-2 /3 *x2³+2x2²)，
由于两切线是同一直线，
则有：x1²-4x1+3=x2²-4x2+3，得x1+x2=4，
又由-2/ 3* x1³+2x1²=-2 /3 *x2³+2x2²，
即-2/ 3 (x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)+2（x1-x2）（x1+x2）=0
-1 /3 (x1²+x1x2+x2²)+4=0，即x1（x1+x2）+x2²-12=0
即（4-x2）×4+x2²-12=0×4+x2²-12=0，x2²-4x2+4=0
得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．

Answer 3

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