Question

高一对数函数。

f(x)满足f(ax-1)=lg(x+2/x-3) 其中a为实常数且a>0
求f（x）表达式
求f(x)定义域
判断f(x)单调性。

Answer 1

设:t=ax-1
则：x=(t+1)/a

(x+2)/(x-3)=[(t+1)/a+2]/[(t+1)/a-3]=(t+1+2a)/(t+1-3a)

所以，f(t)=lg[(t+1+2a)/(t+1-3a)]
即：f(x)=lg[(x+1+2a)/(x+1-3a)]

设f(t)=f(-t)
f(-t)=lg(1+2a-t)/(1-3a-t)=f(t)=lg(t+1+2a)/(t+1-3a)
(t-1-2a)/(t+3a-1)=(t+1+2a)/(t+1-3a)
t^2+5at+(1+2a)(3a-1)=t^2-5at+(3a-1)(2a+1)
10at=0
因为a≠0,无解，所以f(t)≠f(-t)
设f(t)=-f(-t)
f(-t)=lg(1+2a-t)/(1-3a-t)=-f(t)=lg(t+1-3a)/(t+1+2a)
(t-1-2a)/(t+3a-1)=(t+1-3a)/(t+1+2a)
t^2-(3a-1)^2=t^2-(2a+1)^2
(3a-1)^2=(2a+1)^2
3a-1=2a+1
a=2
或3a-1=-(2a+1)
a=0
所以当a≠2时f(t)≠-f(-t)
若f(x)为非奇非偶函数，则a≠0,a≠2

Answer 2

设ax-1=t, 则x=(t+1)/a, ∴ f(x)=lg[(x+2a+1)/(x-3a+1)].f(x)为非奇非偶函数, f(x)的定义域不关于原点对称.而定义域（-∞，-2a-1)∪（3a-1，+∞）,∴ -2a-1+3a-1≠0, a≠2, ∴a的范围是(-∞，0)∪(0,2)∪(2,+∞）