Question

求助，几个不等式的证明

1.已知a，b，c∈R＋，且a，b，c不全相等，求证：a²／b＋b²／c＋c²／a＞a＋b＋c
2.已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0
求高手相助

Answer 1

基本不等式知道吧 a+b>=2√ab

1.由于
a²/b +b≥2a
b²/c +c≥2b
c²/a +a≥2c
上面3式相加得
a²/b+b+b²/c+c+c²/a+a≥2a+2b+2c
(a²/b+b²/c+c²/a)+(a+b+c)≥2(a+b+c)
所以 a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c

2。
由a+b+c=0得：（a+b+c）^2=0即：A的平方+B的平方+C的平方+2AC+2BC+2AC=0
所以2AC+2BC+2AC=-(A的平方+B的平方+C的平方)≤0
所以:AC+BC+AC≤0

祝您学习愉快

Answer 2

1。由柯西不等式，(a^2\b+b^2\c+c^2\a)*(a+b+c)>=(a+b+c)^2
a,b,c不全相等，所以等号不成立，得证
2。2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2<=0
得证