Question

不等式的证明方法

1.a³+b³=2，求证a+b≤2（用反证法解）
2.已知x²+y²=4，求2x+3y的取值范围(用换元法解)
3.若a，b，c，d∈R＋,求证：1＜（a／a+b+d）+（b／b+c+a）+（c／c+d+b）+（d／d+a+c）＜2（用放缩法解）
4.求证：1／2≤(x²+x+1)／(x²+1)≤3／2(用判别式法解)
(这是我暑假预习作业上的,由于还没学,麻烦帮忙把各种方法说详细点,先谢谢了)

Answer 1

假设a+b＞2，则
a³+b³=(a+b)(a^2+b^2-ab)＞
(a+b)(a^2+b^2-(a^2+b^2)/2)＞
(a+b)(a^2+b^2)/2)>2
与原题矛盾，假设不成立。
a+b≤2

令x=2cosx,y=2sinx
则：2x+3y=2*(2cosx+3siny)=2根号(2^2+3^2)sin(x+θ）
则取值范围为[-2根号13,2根号13]

（a／a+b+d）>a/(a+b+c+d)
（b／b+c+a）>b/(a+b+c+d)
（c／c+d+b）>c/(a+b+c+d)
（d／d+a+c）>d/(a+b+c+d)
两边相加
则（a／a+b+d）+（b／b+c+a）+（c／c+d+b）+（d／d+a+c）>1

（a／a+b+d）<a/(a+b)
（b／b+c+a）<b/(a+b)
则两边相加（a／a+b+d）+（b／b+c+a）<1
同理
（c／c+d+b）<c/(c+d)
（d／d+a+c）<d/(c+d)
则（c／c+d+b）+（d／d+a+c）<1
则两式相加
（a／a+b+d）+（b／b+c+a）+（c／c+d+b）+（d／d+a+c）<2

令y=(x²+x+1)／(x²+1)
移项，整理
(y-1)x^2-x+y-1=0
显然，方程有解，则
△=1-4（y-1)^2>=0
则：1/2<=y<=3/2

Answer 2

自己百度搜去。