Question

高中数学 数列问题

已知㏒3 （x）=-1/㏒2 （3），求x+x²+x³+……+x^n的前n项和

㏒3 （x）的意思是 以3为底x的对数

Answer 1

由已知得 X=1/2 【换底公式】

然后可知前n项和为 1-(1/2)^n

注：换底公式的推导过程：

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则
log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据 对数的基本公式
log(a）(M^n)=nloga(M) 和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得
log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c)^log(c)(a)=log(c)(a)/log(c)(c)^log(c)(a)=1
求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

Answer 2

㏒3 （x）=-1/㏒2 （3）=-㏒3 （2），故x=1/2,则由等比数列的求和公式可知所求解为1-1/2^n

Answer 3

㏒3 （x）=-1/㏒2 （3）
logx/log3=-log2/log3
logx=-log2=log(1/2)
x=1/2

x+x²+x³+……+x^n=(x-x^(n+1))/(1-x)
=1-1/2^n