Question

如图，已知半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2.B为半圆周上一动点，以AB为边，向外作等边△ABC

如图，已知半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2.B为半圆周上一动点，以AB为边，向外作等边△ABC。问：点B在什么位置是，四边形OACB的面积最大？并求这个最大面积。
这个就是图

Answer 1

解：如图，设∠AOB=α，则0<α<π。

△AOB中，OA=2，OB=1，因此△AOB的面积S1=1/2×OA×OB×sinα=sinα；

另一方面，由余弦定理可知，AB^2=OA^2+OB^2-2×OA×OB×cosα=5-4cosα，

因此，等边△ABC的面积S2=√3/4×AB^2=√3/4×(5-4cosα)

于是，四边形OACB的面积S=S1+S2=sinα+√3/4×(5-4cosα)=sinα-√3cosα+5√3/4
=2sin(α-π/3)+5√3/4

显然，当α-π/3=π/2，即α=5π/6时，S取得最大值2+5√3/4

答：当点B位于使得∠AOB=5π/6的位置时，四边形OACB的面积最大，最大面积是2+5√3/4 。