Question

高一数学-不等式

若不等式[(1-a)n-1]lga<0对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是
要解题过程

Answer 1

首先 a>0
原不等式可以分解为 lga<0,且(1-a)n-1>0 (1)
或者 lga>0,且(1-a)n-1<0 (2)
解（1） 由lga<0 知 0<a<1, n=1时，a的这个取值范围不满足(1-a)n-1>0
所以无解
解（2） 由lga>0得 a>1，所以 1-a<0, n为任意正整数时，（1-a）n<0<1
由（1-a）n<1得 （1-a）n-1<0
所以a的取值范围是 a>1

Answer 2

即a^[(1-a)n-1]<1恒成立
∴当a>1时
则(1-a)n-1<0 n为正整数
∵1-a<0
∴(1-a)n<0
∴(1-a)n-1<0
满足题意
当a=1时
a^[(1-a)n-1]=1
不满足题意
当0<a<1时
则(1-a)n-1>0恒成立
∵1-a>0
(1-a)n-1单调递增
只需n=1时成立即可
1-a-1>0
a<0,无解
综上 a>1

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/65626775.html
http://zhidao.baidu.com/question/86933673.html?fr=qrl&cid=983&index=1&fr2=query
http://zhidao.baidu.com/question/65626775.html

[(1-a)n-a]lga<0

1）当a=1时显然不等式不成立
2）当0<a<1时 lga<0
[(1-a)n-a]>0
a<n/(n+1) 恒成立
考察f（n）= n/(n+1)在正整数上为增函数。所以a<f(n)min=1/2
所以0<a<1/2

3)当a>1时
[(1-a)n-a]<0
a>n/(n+1)
同理考察f（n），a>=limf(n)(n趋向于正无穷大）=1注意这里可以取等号）
故a>1

综上所述a的取值范围是（0,1/2）并（1，正无穷）

Answer 4

因为[(1-a)n-1]lga=
lga^[(1-a)n-1]<0
所以a^[(1-a)n-1]<1
即：a^[(1-a)n]/<a

当a>1时,若要a^[(1-a)n<a成立
则：(1-a)n<1恒成立
即1-a<1/n因为
1-a<0
所以1-a<1/n恒成立即 [(1-a)n-1]lga<0 恒成立
当0<a<1时
若要a^[(1-a)n<a成立
则：(1-a)n>1恒成立
即1-a>1/n恒成立，因为 因为n为正整数，所以1/n《1
所以要使即1-a>1/n恒成立，则需要1-a>1,所以此时a不存在
a=1时，原式左边为0，因此不等式不成立
综上述，a的取值范围为a>1

则

Answer 5

整理一下：
（1-a)* n * lga<lga(a>0)
若a>1，则n>1/(1-a),因为1-a<0,故n为任意正整数，符合题意
若0<a<1,则n>1/(1-a),令1/(1-a)<1,则a<0(舍去）
a=1,不合题意
综上，a>1