Question

关于集合的一些问题，急

对任意非空集合X、Y，定义：X-Y={x|x∈Y且x不属于Y},X△Y=(X-Y)∪(Y-X).设A={y|y=x^2,x∈R},B={y|y=sin x,x∈R},则A△B=______________.

怎么做的?

Answer 1

由题目中易知X△Y=(X-Y)∪(Y-X)
={x|x只属于X,或只属于Y}
=X∪Y-X∩Y
下面探究X∩Y,即y=sinx 与 y=x2 的公共解问题，画出图像易知若有交点的话那么一定在[0,π/2]内。
考察函数f(x)=x2-sinx,x∈[0,π/2]
则 f'(x)=2x-cosx
f''(x)=2+sinx>0恒成立
∴f'(x)min=f'(0)=2-1=1>0
∴f(x)也是单调递增的，f(x)min=f(0)=0
∴公共解只有一个，那就是 x=0.
∴ A△B={y|y=sinx 或 y=x2,且y≠0}