Question

设f（x）=ax2+bx+c，当x的绝对值小于等于1时，f（x）的绝对值小于等于1，求证f（2）的绝对值小于等于7

Answer 1

令X=1.0.-1，得 a+b+c , a-b+c ,c得绝对值均小于1，根据绝对值不等式，/4a+2b+c/小于等于3*/a+b+c/+/a-b+c/3/-c/小于等于3+1+3=7

Answer 2

由｜x｜≤1时总有｜f(x)｜≤1 ∴｜f(0)｜≤1，即｜c｜≤1.

｜f(1)｜＝｜a+b+c｜≤1 ｜f(-1)｜＝｜a-b+c｜≤1

而｜f(2)｜＝｜4a+2b+c｜

为了避免中间环节扩大a、b的取值范围，故需用待定系数法寻找f(2)与f(1)、f(-1)与c的关系.

令f(2)＝mf(1)+nf(-1)+pc

则4a+2b+c＝m(a+b+c)+n(a-b+c)+pc

＝(m+n)a+(m-n)b+(m+n+p)c
∴ ｜f(2)｜＝｜3f(1)+f(-1)-3c｜≤3｜f(1)｜+｜f(-1)｜+3｜c｜＝3+1+3＝7.

即 ｜f(2)｜≤7

Answer 3

令X=1.0.-1，得 a+b+c , a-b+c ,c得绝对值均小于1，根据绝对值不等式，/4a+2b+c/小于等于3*/a+b+c/+/a-b+c/3/-c/小于等于3+1+3=7

回答者： serenerains