Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,f(1)=1,且对任意实数x都有f(x)-x>=0, 求f(x)的解析式

Answer 1

解：
由已知f(-1)=0,f（1）=1可得到：a-b+c=0;a+b+c=1;解得b=1/2,a+c=1/2;
又因为f(x)-x>=0，所以ax^2+ 1/2x +c=ax^2+ 1/2x + 1/2 -a>=0;
由于此式恒大于等于零，所以b^2-4ac<=0（即该函数的抛物线与横坐标有一 个或没有交点并且抛物线开口向上a>0）所以b^2-4ac=1/4 -4a(1/2 -a)=
1/4-2a+4a^2=1/4(16a^2-8a+1)=1/4（4a-1）^2<=0;
所以4a-1=0,a=1/4,c=1/2-a=1/4,b=1/2
f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4

Answer 2

f(-1)=0，f(1)=1
得a-b+c=0
a+b+c=1
得a+c=b=1/2
f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c>=0恒成立
则a>0且△<=0
解得a=c=1/4
综上f(x)=x^2/4+x/2+1/4