Question

初二的奥数，麻烦各位高手

（1）设a+b+2c=1,a^2+b^2-8c^2+6c+5,求ab-bc-ca的值
（2）设正有理数a,b,c满足条件：a+b+c小于等于4，且ab+bc+ca大于等于4，证明：下面三个不等式中至少有两个成立：|a-b|小于等于2，|c-a|小于等于2，|b-c|小于等于2
（3）已知0.25（b-c)^2=(a-b)(c-a),且a不等于0。求（b+c)/a的值
要有详细的过程，谢谢！

Answer 1

1、a+b+2c=1
a+b-c+3c=1
a+b-c=1-3c
(a+b-c) ² =(1-3c) ²
a²+b²+c²+2(ab-bc-ca)=(3c-1) ²

a²+b²-8c²+6c+5=0
a²+b²-8c²+6c=-5
a²+b²+c²-9c²+6c-1=-5-1
(a²+b²+c²)-(9c²-6c+1)=-6
(3c-1) ²-2(ab-bc-ca)- (3c-1) ²=-6
-2(ab-bc-ca)=-6
ab-bc-ca=3

∵a+b+c≤4
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤16 ①
∵ab+bc+ca≥4 也即-(ab+bc+ca)≤-4 ②
①+3②a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc≤4
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8
下面用反证法。
1.若|a-b|≤2, |b-c|≤2, |c-a|≤2全不成立，
即|a-b|>2, |b-c|>2, |c-a|>2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2>12与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾，不成立
2.若有两项不成立，不妨令|a-b|>2, |b-c|>2, |c-a|≤2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2≥|a-b|^2+|b-c|^2>8与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾，不成立
3.综上所述，|a-b|≤2, |b-c|≤2, |c-a|≤2至少有两项成立。

解：由已知得：
(b-c)²=4(a-b)×(c-a)
b²-2bc+c²=4(ac-a²-bc+ab)
b²+2bc+c²-4ac-4ab+4a²=0
(b+c)²-4a(b+c)+4a²=0
(b+c-2a)²=0
所以：b+c=2a，
则：(b+c)/a=2。