Question

求解一道高数微分方程，谢谢O(∩_∩)O哈！

(dx/dp)=(x/p)+p
是设(x/p)=u吧？请写出过程，谢谢！

Answer 1

此题“设(x/p)=u”完全可以解。但还有另一种解法：常数变易法。解法如下。
解：先解齐次方程dx/dp=x/p的通解
∵dx/dp=x/p ==>dx/x=dp/p
==>ln│x│=ln│p│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Cp
∴齐次方程dx/dp=x/p的通解是x=Cp (C是积分常数)
于是，设原方程的通解为x=C(p)p (C(p)表示关于p的函数)
∵dx/dp=C'(p)p+C(p)
代入原方程得C'(p)p+C(p)=C(p)+p
==>C'(p)p=p
==>C'(p)=1
==>C(p)=p+C (C是积分常数)
∴x=(p+C)p=p²+Cp
故原方程的通解是x=(p+C)p=p²+Cp (C是积分常数)。

Answer 2

x=pu
u+p*du/dp=u+p
p*du/dp=p
du=dp
u=p+c=x/p
x=p^2+cp