Question

积分中值定理能不能用于上下限都是函数的情况？

如题

Answer 1

你的问题考虑的是变动限积分问题，此时积分中值定理当然还是可以应用的，不过要注意的是每次应用的时候，都要把变动限视为给定的函数值，从而不同的积分限所得到的 介点 ksi 可能都是不同的，可以视为变动限自变量的一个函数，不能处理为一个确定的实数；并且中值定理指出的 ksi 不一定保证是连续函数。

可以证明U属于开区间（a,b）,具体的证明要用到定积分性质（不等式性）（见同济大学第六版上册P236习题5-1，12题）以及闭区间上连续函数的介值性定理。

中值定理只指出了kesai的存在性，但是没有规定kesai和积分上下限的关系，而在这里kesai和上限x的关系对极限至关重要。你假定kesai和x同阶，当然是不行的。

Answer 2

你的问题考虑的是变动限积分问题，
此时积分中值定理当然还是可以应用的，
不过要注意的是每次应用的时候，都要把变动限视为给定的函数值，
从而不同的积分限所得到的 介点 ksi 可能都是不同的，可以视为
变动限自变量的一个函数，不能处理为一个确定的实数；
并且中值定理指出的 ksi 不一定保证是连续函数。