Question

如图，在Rt三角形ABC中，角C等于90度，点O为AB的中点，OE垂直于OF交AC于E,交BC于F

如图，在Rt三角形ABC中，角C等于90度，点O为AB的中点，OE垂直于OF交AC于E,交BC于F,EM垂直于AB,垂足为M,N 求证AM等于ON 辅助线为连接EF,CO

Answer 1

你好：
这道题不需要添加辅助线。
思路：证明△AME相似于△FNB，△EMO相似于△FON，只要求得MO=NB，即可求证。

已知EM⊥AB，FN⊥AB
证明：RT△ABC与RT△BFN中，∠B=∠B，∴∠BFN=∠A。
∴，RT△AME相似于△FBN（角角角）
∵EO⊥FO，所以∠FON+∠EOM=90°，∴△EMO相似于△FON（角角角）
于是，可知关系式：
EM：ON=OM：FN=EO：OF...(1)
NB：EM=FN：AM=FB：AE...（2）
于是得到关系式：
EM*FN=OM*ON=NB*AM...（3）
根据点o为中点，设AO=x
（3）可表达为：(x-AM)(x-NB)=NB*AM
展开：x²-x（AM+NB）=0
x=AM+NB
即：AO=AM+NB
于是，可以说明MO=NB，可证AM=ON