Question

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90度．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．

设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？（2）求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积．（阴影部分）

Answer 1

(1)∠BFG=∠BGF
证明：连接OD
AC为圆切线，所以OD⊥AC
∠ADO=∠ACB，所以OD∥BC
∠ODF=∠BGF（内错角），∠OFD=∠BFG（对顶角）
因为OD=OF，∠ODF=∠OFD
所以∠BFG=∠BGF
(2)连接OE
∠ACB=90，AC=BC
BC为圆切线，所以OE⊥BC
已证OD∥BC，所以OD⊥OE
∠DOE=90
O为AB中点，OD∥BC，所以OD为△ABC中位线
因此OD=BC/2=3，即圆半径为3。
D为AC中点，CD=AC/2=3。
同理，E为BC中点，BE=BC/2=3
AC=BC，简单可得，△ABC为等腰直角三角形
所以AB=√2AC=6√2
BF=（6√2-6）/2=3√2-3
由（1）得，∠BFG=∠BGF，BG=BF=3√2-3
EG=BE+BG=3√2
S扇形DOE=90×3²×π/360=9π/4
S△DOE=1/2×DO×EO=9/2
S△DEG=1/2×EG×CD=9√2/2
S阴影部分=S扇形DOE+S△DEG-S△DOE=9π/4+9（√2-1）/2

Answer 2

(1)∠BFG=∠BGF
证明：连接OD
AC为圆切线，所以OD⊥AC
∠ADO=∠ACB，所以OD∥BC
∠ODF=∠BGF（内错角），∠OFD=∠BFG（对顶角）
因为OD=OF，∠ODF=∠OFD
所以∠BFG=∠BGF
(2)连接OE
∠ACB=90，AC=BC
BC为圆切线，所以OE⊥BC
已证OD∥BC，所以OD⊥OE
∠DOE=90
O为AB中点，OD∥BC，所以OD为△ABC中位线
因此OD=BC/2=3，即圆半径为3。
D为AC中点，CD=AC/2=3。
同理，E为BC中点，BE=BC/2=3
AC=BC，简单可得，△ABC为等腰直角三角形
所以AB=√2AC=6√2
BF=（6√2-6）/2=3√2-3
由（1）得，∠BFG=∠BGF，BG=BF=3√2-3
EG=BE+BG=3√2
S扇形DOE=90×3²×π/360=9π/4
S△DOE=1/2×DO×EO=9/2
S△DEG=1/2×EG×CD=9√2/2
S阴影部分=S扇形DOE+S△DEG-S△DOE=9π/4+9（√2-1）/2