Question

在三角形ABC中，角A=90°，AB=AC，角ABC的平分线BD交AC于D，CE垂直BD的延长线于点E，求证CE=二分之一BD.

Answer 1

证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE

Answer 2

证明：延长CE和BA交于F

∵BE平分∠ABC

∴∠CBE=∠FBE

∵BE=BE

BE⊥CF

∴△CBE全等于△FBE

∴CE=FE=CF/2

∵∠BAC=90°

∠BDA=∠CDE

∴∠ABD=∠ACE

∵AB=AC

∠BAC=∠CAF=90°

∴△BAD全等于△CAF

∴BD=CF

∴CE=BD/2