Question

若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=

若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=−b/a,x1•x2=c/a,这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1．已知：M、N是方程x²-x-1=0的两根，记S1=M+N;S2=M²+N²，……Sn=M的n方+N的n方，求（1）S1=( ），S2=( ) ，S3=( )，S4=（ ）
（2）当n 为不小于3的整数时，有（1）猜想Sn、Sn-1、Sn-2之间有何关系？
（3）利用（2）猜想（（1+根号5）/2)的8次方+（（1-根号5）/2）的8次方等于多少？

Answer 1

M+N=1,MN=-1
S1=M+N=1,
S2=M^2+N^2=(M+N)^2-2MN=1-2(-1)=3
S3=M^3+N^3=(M+N)^3-3MN(M+N)=1-3(-1)=4
S4=(M^3+N^3)(M+N)-MN(M^2+N^2)=4-(-1)(3)=7
....
2)Sn=M^n+N^n=[M^(n-1)+N^(n-1)](M+N)-MN[M^(n-2)+N^(n-2)]=S(n-1)+S(n+2)
即Sn=S(n-1)+S(n-2)

3)原式即为S8
S5=4+7=11
S6=7+11=18
S7=11+18=29
S8=18+29=47