Question

为什么在三角形中∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件？

Answer 1

(1)角A>角B是sinA>sinB的充分条件
角A>角B 则 边a>边b （大角对大边）
边a>边b,根据正弦定理知：a/ sinA =b/ sinB
则 sinA>sinB .
(2)角A>角B是sinA>sinB的必要条件
类似可证:
已知sinA>sinB, 根据正弦定理知：a/ sinA =b/ sinB
则边a>边b, 根据大边对大角
则有角A>角B

∴sinA>sinB是A>B的充要条件。

Answer 2

充分性:
因为a,b是三角形的内角,所以0
0
所以sina>sinb.
必要性:
因为sina>sinb,所以sina-sinb=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]>0
又因为2cos[(a+b)/2]>0所以sin[(a-b)/2]>0,于是a>b.
综上所述,三角形中a>b，是sina>sinb的充要条件.