Question

高中数学竞，一个不等式的证明 。高手进

任意△ABC中 证明：AB+BC+AC≥4倍根号3*S

（*为乘号 S为三角形面积）
我哭了%>_<% 错了 不好意思....

是这个 ab+bc+ac≥4倍根号3*S 可以证出来不？

Answer 1

明显题目打错了，如Rt△ABC，AB=3，BC=4，AC=5，易求的其面积S=6。

此时3+4+5=12，而4√3×S=24√3，显然12<24√3，不等式不成立！

而且，从量纲上来看，左边是长度单位，右边是面积单位，不和谐！

应该是“任意△ABC中，证明：AB^2+BC^2+AC^2≥4√3×S”，这是可以证明的。

证明如下：

为了行文的方便，不妨设AB=c，BC=a，AC=b。

于是a^2+b^2+c^2≥a^2+1/2(b+c)^2 （这里直接使用了b^2+c^2≥1/2(b+c)^2这一平凡的结果，应该不需要证明吧，需要明确的是等号成立的条件是b=c）

=3/2a^2+1/2((b+c^2-a^2))

≥√3a^2[(b+c)^2-a^2] （这里使用的是均值不等式，等号成立的条件是3/2a^2=1/2((b+c^2-a^2))，即2a=b+c）

=√3×√a^2×√[(b+c)^2-a^2]

≥√3×√[a^2-(b-c)^2]×√[(b+c)^2-a^2] （这里利用a^2≥a^2-(b-c)^2进行放缩，显然当且仅当b=c时等号成立）

=4√3×√(a-b+c)(a+b-c)(b+c+a)(b+c-a)

=4√3×S（这里直接使用的关于三角形面积的海伦公式S=×√(a-b+c)(a+b-c)(b+c+a)(b+c-a)对于学过奥数的朋友，应该也是很熟悉的吧！）

故：a^2+b^2+c^2≥4√3×S，等号成立的条件是b=c，且2a=b+c，即a=b=c。

Answer 2

利用正弦定理a=2RsinA，原式等价与：
sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA>=2√3sinAsinBsinC
即：1/sinA+1/sinB+1/sinC>=2√3
根据柯西不等式（1/sinA+1/sinB+1/sinC）（sinA+sinB+sinC）>=9
以及sinA+sinB+sinC<=3/2√3
证毕

Answer 3

三角形面积公式S=根号[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=1/2(a+b+c)
代入要求的式子得，只要证a+b+c-根号3(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≥0
利用均值不等式即可，很显然吧

以上是分析，正推就可以了

Answer 4

这个不等式似乎有点问题
令AB=BC=AC=2
S=√3
左边=6
右边=4√3*S=12

但是证明思路肯定可以用海伦公式
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]<=√{p*[(3p-a-b-c)/3]^3}=√(p^4/27)=√3p^2/9
其中p=(a+b+c)/2

Answer 5

这个不等式似乎有点问题
令AB=BC=AC=2
S=√3
左边=6
右边=4√3*S=12

但是证明思路肯定可以用海伦公式
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]<=√{p*[(3p-a-b-c)/3]^3}=√(p^4/27)=√3p^2/9
其中p=(a+b+c)/2

回答者： yh_fg - 八级 2010-8-15 22:21

应该是对的