Question

大学题目 线性代数 设A是n阶实对称矩阵且满足A2=A,又设A的秩为r . 请证明A的特征值为1或0

设A是n阶实对称矩阵且满足A2=A,又设A的秩为r . 请证明A的特征值为1或0

Answer 1

楼上的做法不错，我再提供另外一种做法。
实对称矩阵正交相似（你说正交合同也行）于对角型。于是存在正交矩阵T以及对角矩阵B使得A=T'BT.
A^2=(T'BT)(T'BT)=T'B^2T.于是条件A^2=A转化为B^2=B.注意到B是对角矩阵且对角线上的元素恰为A的特征值，设B=diag(k1,k2,...,kn)(这个记号你看得懂吧？)于是A的全部特征值为k1,k2,...,kn（含重复的），由B^2=B得ki^2=ki(i=1,2,...n).解得ki=1或ki=0所以A的特征值只能为1或0。证毕

Answer 2

我也再提供一种做法：也是最简单的：因为A^2=A,所以A（A-E）=O，因此A的极小多项式只能是A，A-E或者A（A-E），因为极小多项式的根一定是特征值，这说明其特征值只能是1或0。

Answer 3

证明：
设r是A的特征值，x是r对应的特征向量，则：
x不等于零向量；
Ax=rx
AAx=A(rx)=r^2x=Ax=rx
(r^2-r)x=0 x不等于零向量,故 r^2-r=0
所以 r=0 或 1