线性代数问题：设A是n阶实对称矩阵,n为奇数.若A^n=I,证明A=I
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实对称矩阵A正交相似于对角阵,对角元都是A的特征值
即存在正交阵P,使得P'AP=D=diag(d1,d2,...,dn),其中的di是A的特征值（由于A对称,特征值都是实数）
A^n=I,以及利用P'P=I
得出D^n=(P'AP)^n=P'*A^n*P=P'*P=I
推出(di)^n=1,对任意i成立
因为di是实数,且n是奇数,得出di=1,对任意i成立
从而P'AP=I
从而A=P*P'=I
证毕
即存在正交阵P,使得P'AP=D=diag(d1,d2,...,dn),其中的di是A的特征值（由于A对称,特征值都是实数）
A^n=I,以及利用P'P=I
得出D^n=(P'AP)^n=P'*A^n*P=P'*P=I
推出(di)^n=1,对任意i成立
因为di是实数,且n是奇数,得出di=1,对任意i成立
从而P'AP=I
从而A=P*P'=I
证毕
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2024-10-13 广告
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