Question

高等数学试题

验证方程x2cosx-simx=0在区间（x，2/3x）内至少有一个实根？

Answer 1

1.x^2+sinx的一个原函数是_(1/3)x^3-cosx+C___
2.设是F1（x）,F2(x)是f(x)的两个同的原函数，且f(x)≠0，则F1（x）-F2（x）=__0__.
3.求（e^(x^2)）'=__2xe^(x^2)__ (e的x^2次方的导数)
4.（arctan 1/x）'=____-[1/(1+x^2)]__
5.求de^((x^2)-3x)=__(2x-3)e^((x^2)-3x)dx____
二.1.∫f(x)dx=(e^x)cos2x+c,则f(x)=【 A.(e^x)(cos2x-2sin2x)】
解：f(x)=[(e^x)cos2x+c]'=(e^x)(cos2x-2sin2x)

2.若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F'(x)-G'(x)=(【B.0】)
解：F'(x)=G'(x)=f(x)

3.函数y=(x^3)-3x的单调递减区间是（【B.[-1,1]】）
解：y'=3x^2-3 单调递减区间即使y'=3x^2-3<=0的区间 解得区间为[-1,1]

4.1/x+1/3的一个原函数是（【A.ln|x|+x/3】）
解：∫1/x+1/3dx=ln|x|+x/3+C 当C=0时，有其中一个原函数ln|x|+x/3

5.如果∫f(x)dx=(x^3)e^(3x)+C,则f(x)是（【D.3(x^2)(e^(3x))+3(x^3)(e^(3x))
】）
解：[(x^3)e^(3x)+C]'=3(x^2)(e^(3x))+3(x^3)(e^(3x))

三.计算题
1).∫（(√x)-1）(x+1/(√x)) dx
解：∫（(√x)-1）(x+1/(√x)) dx
=∫（x√x+1-x-1/(√x)) dx
=∫(x√x)dx+∫1dx-∫xdx-∫[1/(√x)] dx
=(2/5)x^(5/2)-(1/2)x^2-2√x+x+C

2).∫((1/√x)-2sinx+3/x) dx
解：∫((1/√x)-2sinx+3/x)dx
=∫(1/√x)dx-∫(2sinx)dx+∫(3/x)dx
=2√x+2cosx-3ln|x|+C

3).∫(2-√(1-x^2))/(√(1-x^2)) dx
解法一：
∫(2-√(1-x^2))/(√(1-x^2)) dx
=∫[2/(√(1-x^2)]dx-∫[√(1-x^2)/(√(1-x^2)] dx
=2arcsinx-x+C

解法二：令x=sint,dx=dsint=costdt,√(1-x^2)=cost
∫(2-√(1-x^2))/(√(1-x^2)) dx
=∫[(2-cost)/(cost)]costdt
=∫(2-cost)dt=∫2dt-∫costdt
=2t-sint+C
=2arcsinx-x+C

4).y=ln(1-x); 求dy/dx
解：dy/dx=(1-x)'[1/(1-x)]=-[1/(1-x)]=1/(x-1)

5).y=ln(1+√(1+x^2)) 求dy/dx
解：dy/dx=[1+√(1+x^2)]'{1/[1+√(1+x^2)]}
=(1+x^2)'[1/2√(1+x^2)]{1/[1+√(1+x^2)]}
=2x[(1/2)√(1+x^2)]{1/[1+√(1+x^2)]}
=x/[√(1+x^2)+1+x^2]

6).设f(x)=arctan√((x^2)-1) - lnx/(√((x^2)-1)),求df(x).
解：df(x)=1/x√((x^2)-1)-[(x^2)-1-(x^2)lnx]/x(x^2-1)√((x^2)-1)dx
=(xlnx)/{[(x^2)-1]√((x^2)-1)}dx
=[(xlnx)/√((x^2)-1)^3]dx

四.解答题
1.求由区县y=x^(1/2),y=x^2所围成的平面图形的面积。
解：y=x^(1/2)与y=x^2的交点为(0,0)，(1,1)
围成的平面图形的面积S=∫(0~1)(√x-x^2)dx
=[(2/3)x^(3/2)=(1/3)x^3]|(0~1)
=1/3

2.求函数y=-(x^4)+2x^2的单调区间与极值。
解：y'=-4x^3+4x，令y'=0，得驻点x1=0，x2=1，x3=-1

x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
y' + 0 - 0 + 0 -
y 递增 极大值1 递减 极小值0 递增 极大值1 递减

递增区间为(-∞,-1)，(0,1)
递减区间为(-1,0)，(1,+∞)
极大值f(1)=f(-1)=1
极小值f(0)=0
以上回答你满意么？