Question

关于多元函数微分学。请问2，3题怎么解？怎么判断函数是否可微呢？

Answer 1

　　这种题的解答实际上是一个大题的量，除非在你的教材中已经作为例题或习题出现过，才可能在考试时当选择题。翻翻书，会有的。用全微分的定义判断：
　　2）选 B)。首先，用偏导数的定义可算出
　　　　fx(0,0) = lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x = lim(x→0)(0-0)/x = 0，fy(0,0) = 0，
其次，若函数 f 在 (0,0) 可微，则应有
　　　　lim(ρ→0)[f(Δx,Δy)-f(0,0)-fx(0,0)Δx-fy(0,0)Δy]/ρ = lim(ρ→0)[√(ΔxΔy)]/√(Δx²+Δy²) = 0，
其中，ρ = √(Δx²+Δy²)，但若取 Δy = kΔx，则
　　　　lim(ρ→0,Δy = kΔx)[√(ΔxΔy)]/√(Δx²+Δy²) = lim(Δx→0)[√(kΔx²)]/√[Δx²(1+k²)] = √[k/(1+k²)]，
极限不确定，故
　　　　lim(ρ→0)[f(Δx,Δy)-f(0,0)-fx(0,0)Δx-fy(0,0)Δy]/ρ≠ 0，
即函数 f 在 (0,0) 不可微。

　　3）留给你……