Question

已知函数f（x）＝x（x－a）2，g（x）＝－x2＋（a－1）x＋a（其中a为常数）

1．如果函数y＝f（x）和y＝g（x）有相同的极值点，求a的值
2．设a＞0，问是否存在xo属于（－1,3／a），使得f（xo）＞g（xo），若存在或不存在，请说明理由。
3．记函数H（x）＝［f（x）－1］｀［g（x）－1］，若函数y＝H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）假设存在，即存在x∈(-1，
a3)，使得f（x）-g（x）=x（x-a）2-[-x2+（a-1）x+a]=x（x-a）2+（x-a）（x+1）=（x-a）[x2+（1-a）x+1]＞0，
当x∈(-1，
a3)时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈(-1，
a3)，使得x2+（1-a）x+1＜0，（6分）1°当a-12＞
a3即a＞3时，(
a3)2+(1-a)(
a3)+1＜0得a＞3或a＜-
32，∴a＞3；2°当-1≤
a-12≤
a3即0＜a≤3时，4-(a-1)24＜0得a＜-1或a＞3，∴a无解；
综上：a＞3．
据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足g(
a-12)＞1⇒a＞1或a＜-3；
（ⅱ）f（x）-1=0有3个不同的实根，1°当a3＞a即a＜0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍；2°当a3=a即a=0时，不符合题意，舍；3°当a3＜a即a＞0时，f（x）在x=
a3处取得极大值，f(
a3)＞1⇒a＞
3
322；所以a＞
3
322；
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故a＞
3
322下证：这5个实根两两不相等，
即证：不存在x0使得f（x0）-1=0和g（x0）-1=0同时成立；
若存在x0使得f（x0）=g（x0）=1，
由f（x0）=g（x0），即x0（x0-a）2=-x02+（a-1）x0+a，
得（x0-a）（x02-ax0+x0+1）=0，
当x0=a时，f（x0）=g（x0）=0，不符合，舍去；
当x0≠a时，既有x02-ax0+x0+1=0①；
又由g（x0）=1，即-x02+（a-1）x0+a②；
联立①②式，可得a=0；
而当a=0时，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x3-1）（-x2-x-1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当a＞
3
322时，函数y=H（x）有5个不同的零点．
希望能解决您的问题。