Question

已知二次函数f（x）=ax平方＋2x＋1（a不等于0），区间[0，1]上的最大值为4，求实数a的值

Answer 1

解：f(x)=a(x�0�5+2x/a)+1=a[(x+1/a)�0�5-1/a�0�5]+1=a(x+1/a)�0�5-1/a+1≦1-1/a=4
①如果最大值4是函数f(x)在其全部定义域内的最大值，那说明f(x)的图像是一条开口朝下的抛物线，故有a<0，且0≦-1/a≦1，-1≦1/a<0，故得a≦-1.....................(1)
又1-1/a=4，1/a=-3，故a=-1/3>-1，与(1)矛盾，故4不是f(x)在其全部定义域内的最大值。
②基于①的结论，最大值4只是区间[0，4]上的最大值，这就要分几种情况进行讨论：
A。a<0，-1/a≧1，即-1≦a<0时，maxf(x)=f(1)=a+3=4，此时a=1，与条件-1≦a<0矛盾，故不
属于此情况；
B。a<0，-1/a<0，即a>0与a<0矛盾，故也不是此情况；
C。a>0，-1/a>1，即1+1/a=(a+1)/a<0，-1<a<0，这也与a>0矛盾，不是此情况；
D。a>0，-1/a<0，即a>0时，此时maxf(x)=f(1)=a+3=4，故a=1>0
结论：a=1.