Question

高中解析几何问题

已知定圆C：x方+（y-3）方=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点。 1、当l与m垂直时，求证：l过圆心C；2、当｜PQ|=2根号3时，求直线l的方程；3、设t=AM•AN，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值

Answer 1

证1： 定直线m的斜率为-1/3，所以直线l的斜率为3，可得到直线l的方程：y=3x+3.代入圆心坐标（0,3），可以验证直线过圆心。
解2，显然此时存在两条直线方程满足解的条件。｜PQ|=2根号3，且半径为2，所以圆心到直线l的距离必为1，而直线过A（-1，0），所以直线x=-1是一个解，由于解直线关于圆心C和A的连线对称，且角CAP易求得为arctan1/3，所以，另一解直线和直线CA的夹角也为arctan1/3，得到另一解直线与x轴的夹角为90°-2arctan1/3，对其求正弦得，4/3，所以另一直线的斜率为3/4，可得直线方程为：y=4/3（x+1）。
解3：设N的坐标为（a，b），则有：a+3b+6=0，且AN=根号下a+1方+b方，AN直线方程为：y=(（a+1）/b)(x+1),k=（a+1）/b。可得圆心C到直线的距离为：|k-3|/根号下1+（k方），所以AM=根号下【10-（（k-3）方/（1+k方））】，待续

追问

谢谢，我已经会了，第三问应该分两种情况讨论，1：斜率不存在时，t=-5，2：斜率存在时，求出M点坐标，再求出向量AM，再联立直线与定直线方程求得N点坐标，求出AN，从而解得t=-5，所以有定值