Question

高中数学解析几何问题

高中数学解析几何问题第二个怎么证明，它可以推广到一般情况吗

Answer 1

好的LZ
您的这个问题涉及必修5的解三角形,和均值定理(均值不等式)
我们可以一起试试.
设有一x型椭圆,x^2/a^2+y^2/b^2=1
根据余弦定理(这里P角可能是钝角,所以不可以用sin,tan判别!有兴趣的话,您可以假设PA所在斜率kpa,PB所在斜率kpb 角PBX=角PAB-角P,而实际上,kpa=tan角PAX,kpb=tan角PBX,你利用差角关系式试一试...这里就不试验解法二了...)
cosP=(AP^2+PB^2-AB^2)/2lAPllPBl
其中AP^2=(x+a)^2+y^2
PB^2=(x-a)^2+y^2
AB^2=4a^2
所以原式=[(x+a)^2+y^2+(x-a)^2+y^2-4a^2] / 2根号[(x+a)^2+y^2]根号[(x-a)^2+y^2]
=(2x^2+2y^2-2a^2) / 2根号[(x+a)^2+y^2]根号[(x-a)^2+y^2]
=2(x^2+y^2-a^2) / 2根号[(x+a)^2+y^2]根号[(x-a)^2+y^2]
≥2(x^2+y^2-a^2) / [(x+a)^2+y^2 + (x-a)^2+y^2] -------------(1)(均值定理)
=2(x^2+y^2-a^2) / 2(x^2+a^2+y^2)
=(x^2+y^2+a^2-2a^2) / (x^2+a^2+y^2)
=1 - 2a^2/(x^2+a^2+y^2)
由于y^2=b^2-b^2x^2/a^2
原式=1 - 2a^2/[(1-b^2/a^2)x^2+a^2+b^2] ------- (2)
对于(1)式,取等条件是
(x+a)^2+y^2 = (x-a)^2+y^2
故此时x=0
对于(2)式,(2)式可以视为 f(x)=1 - 2a^2/g(x)
g(x)>0,g(x)越小, 2a^2/g(x)越大, f(x)越小.
而g(x)=(1-b^2/a^2)x^2+a^2+b^2
这是一个二次项系数 (1-b^2/a^2)>0,开口向上,没有一次项,顶点在x=0的二次函数
显然x=0时,(2)式恰也取最小值
综上所述,当x=0也就是P位于上顶点时,cosP最小,由于y=cosx是单调递减函数,因而对应APB角反而最大.命题得证