Question

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC。若三角形ABC的边长为1，

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC。若三角形ABC的边长为1，AE=2，求CD的长 (题目没有图)

Answer 1

解：取AE中点F，做辅助线FC和FD。因为AB=1，AE=2，地是AE中点，所以AB=AF=FE，三角形ABC等边三角形，AB=AC=BC=AF，很容易证明三角形FBC是一个角是60度的直角三角形。

因为角ACE=180度-60度-角ECD

    角FED=180度-60度（角B0）-角EDC，而角ECD等于角EDC（EC=ED，等边对等角）

所以角ACE和角FED相等。

AC=AF=FE  EC=ED ACE和角FED又相等，所以三角形ACE全等三角形FED（边角边定理）

所以AE等于FD AE=2，那FD也等于2 上面曾证明过FB=AB+AF=1+1=2，根据等边对等角，角FDB等于角B等于60度，那角BFD也是60度，也就是说三角形FBD也是等边三角形。

刚才证明了FC是垂直BD的，而等边三角形边上的高，是垂直平分底边的，所以CD=BC=1。

解题完毕。图画得不太标准，对付看啊。

Answer 2

1/如图，

在⊿ECA中由余弦定理得

EC²＝EA²＋CA²－2EA.CA·cos∠EAC

      ＝2²＋1²－2×2×1×cos120º

      ＝7，

设CD＝x，

在⊿EDB中由余弦定理得

ED²＝EB²＋DB²－2EB.DB·cosB

      ＝3²＋﹙x＋1﹚²－2×3×﹙x＋1﹚×1/2

     ＝9＋x²＋2x＋1－3x－3

     ＝x²－x－7，

又EC＝ED ，

∴x²－x－7＝7，

解之得x1＝1，x2＝0﹙舍去﹚，

∴CD＝1。

2\点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上。

过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N
∵等边△ABC，AM⊥BC
∴BM＝CM＝BC/2
∵BC＝1
∴BM＝1/2
∵AB＝1,AE＝2
∴BE＝AE-AB＝1
∴AB＝BE
∵EN⊥CD，∠EBN＝∠ABM
∴△ABM全等于△EBN
∴BN＝BM＝1/2
∴CN＝BC+BN＝1+1/2＝3/2
∵ED＝EC，EN⊥CD
∴DN＝CN＝3/2
∴CD＝DN+CN＝3/2+3/2＝3

有两种方法，我也是好不容易查到的

Answer 3

如图，

在⊿ECA中由余弦定理得

EC²＝EA²＋CA²－2EA.CA·cos∠EAC

      ＝2²＋1²－2×2×1×cos120º

      ＝7，

设CD＝x，

在⊿EDB中由余弦定理得

ED²＝EB²＋DB²－2EB.DB·cosB

      ＝3²＋﹙x＋1﹚²－2×3×﹙x＋1﹚×1/2

     ＝9＋x²＋2x＋1－3x－3

     ＝x²－x－7，

又EC＝ED ，

∴x²－x－7＝7，

解之得x1＝1，x2＝0﹙舍去﹚，

∴CD＝1。