Question

公理，定理，推论，有什么区别和联系？

Answer 1

公理：
1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。

定理：
1、通过真命题[1]（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
2、一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。

推论：
"推论"是从一系列的示例找出一个组型。当受测者能从一系列示例中，藉由登录相关联的属性与注意到示例间的关系，进而抽取出一个概念或程序知识。推论的历程包含：比较示例，指认出组型规则，使用组型规则产出新符合组型规则的新示例。
所谓“推理”（reasoning），又称“推论”（inference），指的是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式。其中已知的命题是前提，得出的命题为结论。

用最通俗的话解释他们之间的关系就是：
1、公理是一些显而易见、能被大家所接受的但却是无法证明的命题。
任何一门数学学科都是建立在某一个或几个公理的基础上演绎而成的。例如平面几何是建立在三条公理的基础上的，其中一条是：过两点可以作并且只可以作一条直线。这是无法证明的，只能把它作为公理。当然作为一门学科，公理应该越少越好。
2、定义就是规定，为了说起来方便，也为了学习数学的时候大家有共同的语言，对一些概念、名词、记号等等必须作出规定，这就是定义。在这里常常看到一些人说出非常外行的话，甚至概念混淆，这些人与学习数学的人之间还没有共同语言，所以很多问题没有办法说清楚。上次这里就有一位连极限值与极值的概念也分不清楚，又不愿意虚心请教别人，这种人就只能由他去了。
3、定理就是经过证明的命题，我们在以后数学学习和处理数学问题（例如解题时）的时候可以使用，一门数学学科学习得如何，很大程度上取决于对定理的熟悉程度。
4、推论也是定理，如果一个结论非常容易由某个定理的结论稍作处理后得到，常常把这样的定理写作是这一个定理的推论。

Answer 2

公理，事实存在的道理！定理，带有一定人为规定性的道理！推论，由已知公理或定理推导出来的结论！