Question

公理 定理 推论 之间的关系

Answer 1

公理：
1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。

定理：
1、通过真命题[1]（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
2、一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。

推论：
"推论"是从一系列的示例找出一个组型。当受测者能从一系列示例中，藉由登录相关联的属性与注意到示例间的关系，进而抽取出一个概念或程序知识。推论的历程包含：比较示例，指认出组型规则，使用组型规则产出新符合组型规则的新示例。
所谓“推理”（reasoning），又称“推论”（inference），指的是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式。其中已知的命题是前提，得出的命题为结论。

用最通俗的话解释他们之间的关系就是：
1、公理是一些显而易见、能被大家所接受的但却是无法证明的命题。
任何一门数学学科都是建立在某一个或几个公理的基础上演绎而成的。例如平面几何是建立在三条公理的基础上的，其中一条是：过两点可以作并且只可以作一条直线。这是无法证明的，只能把它作为公理。当然作为一门学科，公理应该越少越好。
2、定义就是规定，为了说起来方便，也为了学习数学的时候大家有共同的语言，对一些概念、名词、记号等等必须作出规定，这就是定义。在这里常常看到一些人说出非常外行的话，甚至概念混淆，这些人与学习数学的人之间还没有共同语言，所以很多问题没有办法说清楚。上次这里就有一位连极限值与极值的概念也分不清楚，又不愿意虚心请教别人，这种人就只能由他去了。
3、定理就是经过证明的命题，我们在以后数学学习和处理数学问题（例如解题时）的时候可以使用，一门数学学科学习得如何，很大程度上取决于对定理的熟悉程度。
4、推论也是定理，如果一个结论非常容易由某个定理的结论稍作处理后得到，常常把这样的定理写作是这一个定理的推论。

Answer 2

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3e26cd0b010008gx.html

定义（definition）、公理（axiom）、定理（theorem）、推论（corollary）、命题（proposition）、引理（lemma）之间的相互关系基本如下。

首先、定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。

其次、定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。

最后、引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。

----------------------------------------------------

个人通俗理解就是：在一篇论文中

定义是一些基本概念性的东西。

公理是地球人都知道的。

定理是一些比较重要的结论，具有一定意义的。

引理是在证明某个定理的过程中得出的中间结果，可以使定理证明的过程分步骤清晰明了，只对该定理的证明有点意义。

推论是定理的一些变形。

Answer 3

用不着这么麻烦
公理就是人所共知的，没有人提出异议的真命题，如三角形内角和180
定理是通过公理经过证明而出来的，如勾股定理
定理就是公理的推论

Answer 4

公理是所有人都认同的，没有原因的理论，一般是常识和显而易见的指示。
定理是人们通过公理证明出来的理论，有据可循。
推论是公理，定理的变形、一般情况或特殊情况，以及不为大部分人所知得更深一步研究。
在做题时，公理，定理可直接使用，而推论要写出原形。

Answer 5

他们之间没有关系。推论是一种未被证明的理论，定理是已被证明的理论，公理是认知范围里被所有人一致认为真实的而不需证明的理论。

就好比刑事侦察中，当线索指向某人有罪时，这是一个推论的结果，而它们需要现实的人证、物证等来证明；而定理则是被人们通过科学的方法证明后的理论，如在1个气压里水的沸点是100摄氏度，这是被证明了的；而公理的话，百度百科里有详尽的描述。

至于他们的关系，非要说的话我觉得只是定理和推论有一点关系，算是承继的关系吧，即定理就是被证明真实的推论，定理是结果，推论是探寻的过程...