Question

一道高中数学题,关于数列的

已知等比数列{an}的前n项和An=(1/3)^n-c(c为常数),数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足√(Sn)-√(Sn-1)=1(n≥2)

(1)求数列{an}的通项公式

(2)求数列{bn}的通项公式

(3)若数列{1/(bn*bn+1)}的前n项和为Tn,问Tn>1001/2010的最小正整数n是多少?

Answer 1

解析：1)\∵An=(1/3)^n-c
∴An-1=(1/3)^(n-1)-c
∴an=An-An-1=-2/3^n，
则a1=-2/3,q=1/3
An=(-2/3)[1-1/3^n]/(1-1/3)=1/3^n-1
得c=1
2)\∵√(Sn)-√(Sn-1)=1,
∴√(Sn-1)-√(Sn-2)=1
√(Sn-2)-√(Sn-3)=1
……
√(S3)-√(S2)=1
√(S2)-√(S1)=1
√(Sn)-√(S1)=n-1
∴√(Sn)=n-1+√c=n
Sn=n^2
bn=Sn-Sn-1=n^2-(n-1)^2
=2n-1
3)、1/bn*bn+1=1/(2n-1)(2n+1)
=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴1/b1*b2=1/2*[1/1-1/3)
1/b2*b3=1/2*[1/3-1/5)
1/b3*b4=1/2*[1/5-1/7)
……
1/bn*bn+1 =1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴Tn=1/2*[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)
∵Tn>1001/2010,即n/(2n+1)>1001/2010
解得n＞1001/8,
最小正整数n是126

Answer 2

√(Sn)=√(Sn-1)+1=√(S1) +(n-1)=n-1+√c
√(Sn+1)= √c +n
bn+1=2n-1+2√c b1=c
c=1

an=A(n+1)-An=-2/3^(n-1)
bn=2n-1

1/(bn*bn+1)=1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1) -1/(2n+1)]
Tn=1/2[(1-1/3)+ (1/3-1/5)+(1/5-1/7)+...+(1/(2n-1) -1/(2n+1)]
=1/2(1-1/(2n+1)>1001/2010
8/2010>1/(2n+1)
n>(2010/8 -1)/2=125.125
最小正整数n=126