Question

设两个n维向量组A：a1, a2, … , ar； B: b1, b2, … , bs, 如果向量组A可由向量组B 线性表示，

请解释 两个n维向量组A：a1, a2, … , ar；
B: b1, b2, … , bs, 如果向量组A可由向量组B
线性表示，且向量组A线性无关，则r≤s.

Answer 1

向量组A可以由向量组B线性表示，说明A中所有向量a1,……ar都能找到一组k，使每个向量都表示成B中的向量的线性组合。
因为A中向量线性无关，那么B中的线性无关的向量必然要大于等于A中无关的个数，否则能在A中找到两个向量，对应B中表示他们的向量是相同的，这样他们必然是相关的，就与A线性无关矛盾了。

用数学来表示：A=BK，其中K表示系数矩阵

r=R(A)=R(BK)≤min(R(B),R(K))≤R(B)=s

追问

因为A中向量线性无关，那么B中的线性无关的向量必然要大于等于A中无关的个数，否则能在A中找到两个向量，对应B中表示他们的向量是相同的，这样他们必然是相关的，就与A线性无关矛盾了。
这句话不理解，能举例说明一下吗？

追答

A中的每个向量至少要对应B中的一个向量。
比如a1等于k*b1，a2等于k*b2，……ar等于k*br
由于a1,……ar线性无关，b1,……br也必然线性无关，这时B矩阵的秩至少是r了

实际a1,……ar可能分别是B中几个向量的线性组合，但他们之间至少有一个线性无关的向量（也就是上面说的b1,……br）

追问

那这里的r s是表示向量个数还是秩？是规定吗？

追答

表示向量的个数，和题目中的意思一样。