Question

如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（

如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（两动点都不与端点重合）．（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是 　　　　　　　 ；（２）说出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值时，点Ｐ、点Ｑ的位置，并在图８中画出；（３）请对（２）中你所给的结论进行证明．

Answer 1

（１）　 （２）过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ（３）证明见解析

解：（１）　 ；…………………………………………………………２分 （２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分 ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分 过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分 （３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高， ∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４× ＝ ．…………………………６分 ∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点， 且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ， ∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分 ∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝ ． 下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值： 在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ １ （图5）．…………………………………９分 ①过Ｑ １ 点作Ｑ １ Ｆ １ ⊥ＡＣ于点Ｆ １ ，………………………………………１０分 过Ｑ １ 点作Ｑ １ Ｐ １ ⊥ＡＤ于点Ｐ １ ，…………………………………………１１分 则Ｐ １ Ｑ １ ＋ＤＱ １ ＝Ｆ １ Ｑ １ ＋ＤＱ １ ， 由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短， ∴得Ｆ １ Ｑ １ ＋ＤＱ １ ＞ＦＱ＋ＤＱ， 即Ｐ １ Ｑ １ ＋ＤＱ １ ＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分 ②若Ｐ ２ 是ＡＤ上异于Ｐ １ 的任一点，………………………………………１３分 可知斜线段Ｐ ２ Ｑ １ ＞垂线段Ｐ １ Ｑ １ ，………………………………………１４分 ∴Ｐ ２ Ｑ １ ＋ＤＱ １ ＞Ｐ １ Ｑ １ ＋ＤＱ １ ＞ＰＱ＋ＤＱ． 从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小． 此题考核正方形的性质，利用垂线段最短求证最小值