Question

已知函数f（x）= 1 2 m（x-1） 2 -2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间

已知函数f（x）= 1 2 m（x-1） 2 -2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+3+lnx 由题意知x＞0，f′（x）=-2+ 1 x = -2x+1 x ，令f′（x）＞0，得0＜x＜ 1 2 时， 所以f（x）的增区间为（0， 1 2 ）． （2）由f′（x）=mx-m-2+ 1 x ，得f′（1）=-1， 知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=-x+2， 于是方程：-x+2=f（x）即方程 1 2 m（x-1） 2 -x+1+lnx=0有且只有一个实数根； 设g（x）= 1 2 m（x-1） 2 -x+1+lnx，（x＞0）． 则g′（x）= m x 2 -(m+1)x+1 x = (x-1)(mx-1) x ， ①当m=1时，g′（x）= (x-1)(x-1) x ≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设； ②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜ 1 m 或x＞1， 由g′（x）= (x-1)(mx-1) x ＜0得 1 m ＜x＜1， 故g（x）在区间（0， 1 m ），（1，+∞）上单调递增，在（ 1， 1 m ）区间单调递减， 又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意； ③当0＜m＜1时，由g′（x）= (x-1)(mx-1) x ＞0得0＜x＜1或x＞ 1 m ， 由g′（x）=＜0得1＜x＜ 1 m ， 故g（x）在区间（0，1），（1， 1 m ）上单调递增，在（ 1 m ，+∞）区间单调递减， 又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意； ∴由上述知：m=1．