Question

已知函数f(x)＝1／2m（x－1）²－2x＋3+lnx,m属于R，当m＝0时，求函数f(x)的单调增区间

Answer 1

f(x)=x²-mx-mln(x-1), x>1
(1) m=1, f'(x)=2x-1-1/(x-1)=(2x²-3x)/(x-1)=2x(x-3/2)/(x-1);
因为x>1, 所以f(x)在(1,3/2]上是减函数；在[3/2,+∞）上是增函数
所以f(x)在x=3/2时取得最小值f(3/2)=9/4-3/2+ln2=3/4+ln2; f(x)没有最大值；
（2）f'(x)=2x-m-m/(x-1)=[2x²-(m+2)x]/(x-1)=2x[x-(m+2)/2]/(x-1),
因为x>1, 所以： a.当(m+2)/2≤1,即m≤0时，f'(x)>0;f(x)在(1,+∞)上是增函数；
b.当(m+2)/2>1,即m>0时，f(x)在(1,(m+2)/2]上是减函数;在[(m+2)/2,+∞)上是增函数
所以，当m≤0时，f(x)的增区间为(1,+∞);
当m>0时，f(x)的减区间为(1,(m+2)/2],增区间为[(m+2)/2,+∞).
(3)当m≥1时，由(2)知，f(x)在(1,(m+2)/2]上是减函数;在[(m+2)/2,+∞)上是增函数
所以f(x)有最小值f((m+2)/2)=(m+2)²/4-m(m+2)/2-mln(m/2)= - (m²-4)/4-mlnm+mln2
=-m²/4+1-mlnm+mln2
设g(m)= - m²/4+1-mlnm+mln2; m≥1;
则g'(m)=- m/2-lnm+ln2-1<0, (因为m/2>0, lnm≥0,ln2-1<0)
所以函数g(m)在[1,∞)上是减函数，其最大值为g(1)= - 1/4+1+ln2=6/8+ln2>5/8+ln2
所以m=1时没有有公共点； 即存在实数m=1, 使f(x)的图像与直线y=5/8+ln2没有公共点

Answer 2

m=0，f(x)=-2x+3+lnx
f'(x)=-2+1/x
令f'(x)=-2+1/x≥0
解得x≤1/2
所以单调增区间为（0,1/2]