Question

（1）求曲线y=lnx过坐标原点的切线T；（2）求y=lnx，切线T与x轴所围平面图形D的面积；（3）求平面图形D绕

（1）求曲线y=lnx过坐标原点的切线T；（2）求y=lnx，切线T与x轴所围平面图形D的面积；（3）求平面图形D绕x轴所形成的旋转体体积．

Answer 1

（1）由y=lnx，得y′＝

1

x

．
设切点坐标为（x₀，lnx₀），则切线方程为
y?lnx0＝

1

x0

(x?x0)．
又切线过原点，所以有
0?lnx0＝

1

x0

(0?x0)，
即lnx₀=1，x₀=e．
∴切线方程为y＝

1

e

x．
（2）由于y=lnx和切线y＝

1

e

x的交点为（e，1）
∴y=lnx，切线T与x轴所围平面图形D的面积
D＝

∫

1 0

(ey?ey)dy=

∫

1 0

(ey?ey)dy＝

(ey? ey2 2 )|

1 0

＝

e

2

?1．
（3）将旋转体体积看成是y=ex在x∈[0，e]这段曲线与x轴所围成平面图形绕x轴旋转得到的旋转体体积，
与y=lnx在x∈[1，e]这段曲线与x轴所围成平面图形绕x轴旋转得到的旋转体体积之差
则V＝

πe

3

?π

∫

e  1

(lnx)2dx=

πe

3

?π(

xln2x|

e 1

?2

∫

e  1

lnxdx)
=

πe

3

?π[e?2x

lnx|

e 1

+2(e?1)]
=

πe

3

?π[e?2e+2e?2]＝

πe

3

?π(e?2)＝2π(1?

e

3

)．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示