Question

（2014?红桥区二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4，∠ADE的

（2014?红桥区二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4，∠ADE的余弦值为45．（1）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；（2）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）证明：连接AC，BD交于O，连OF
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（2）过E作EH⊥AD于H，连接BH，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，
AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的边长AD=5．
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，∴△ABE为直角三角形，∴BE=

BA2+AE2

=

25+9

，
∴BE＝

34

，且HE＝

EA?ED

AD

＝

12

5

，
在RT△EHB中，sin∠EBH＝

HE

BE

＝

12 5

34

＝

6 34

85

．
直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

6 34

85

．…（14分）