Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=30 0 ，将线段BC绕点B逆时针旋转60 0 得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB

在△ABC中，AB=AC，∠A=30 0 ，将线段BC绕点B逆时针旋转60 0 得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．（1）如图1，直接写出∠ABD和∠CFE的度数；（2）在图1中证明：AE=CF；（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加以证明．

Answer 1

（1）15°，45°；（2）证明见解析；（3）△CEF是等腰直角三角形，证明见解析.

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数，由旋转的雹陪橡性质得到∠DBC的度数，从而得到∠ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数. （2）连接CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而AB∥FD，证明△AEF≌△FCD即可得AE=CF． （3）过点E作EG⊥CF于G，根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形. （1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=30 0 ，∴∠ABC=75 0 . ∵将线段BC绕点B逆时针旋转60 0 得到线段BD，即∠DBC=60 0 ．∴∠ABD= 15°. ∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°． （2）如图，连接CD、DF． ∵线段BC绕点B逆时针旋转60?得到线段BD，∴BD=BC，∠CBD=60 0 ．∴△BCD是等边三角形． ∴CD=BD． ∵线段BD平移到EF，∴EF∥BD，EF=BD． ∴四边形BDFE是平行四边形，EF= CD． ∵AB=AC，∠A=30 0 ，∴∠ABC=∠ACB=75 0 ．∴∠ABD=∠ACD=15°． ∵四边形BDFE是平行源旁四边形，∴AB∥FD．∴∠A=∠CFD. ∴△AEF≌△FCD（AAS）． ∴AE=CF． （3）△CEF是等乱塌腰直角三角形，证明如下： 如图，过点E作EG⊥CF于G， ∵∠CFE =45°，∴∠FEG=45°．∴EG=FG． ∵∠A=30 0 ，∠AGE=90°，∴ ． ∵AE=CF，∴ ．∴ ．∴G为CF的中点．∴EG为CF的垂直平分线． ∴EF=EC． ∴∠CEF=∠FEG=90°． ∴△CEF是等腰直角三角形．