Question

已知函数f(x)＝x 2 ＋ax＋b，g(x)＝e x (cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有

已知函数f(x)＝x 2 ＋ax＋b，g(x)＝e x (cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

Answer 1

（1）a＝4，b＝2，c＝2，d＝2 （2）[1，e 2 ]

(1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)， ∴b＝d＝2. ∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4. ∵g′(x)＝e x (cx＋d＋c)， ∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，则F′(x)＝(ke x －1)(2x＋4)， 由题设可得F(0)≥0，故k≥1， 令F′(x)＝0得x 1 ＝－ln k，x 2 ＝－2， ①若1≤k＜e 2 ，则－2＜x 1 ≤0， 从而当x∈[－2，x 1 )时，F′(x)＜0， 当x∈(x 1 ＋∞)时，F′(x)＞0， 即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x 1 )＝2x 1 ＋2－x 2 2 －4x 1 －2＝－x 1 (x 1 ＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立； ②若k＝e 2 ，F′(x)＝(e x ＋2 －1)(2x＋4)， 故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增， 因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立； ③若k＞e 2 ，则F(－2)＝－2ke －2 ＋2＝－2e －2 (k－e 2 )＜0， 从而当x∈[－2，＋∞)时， f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上所述k的取值范围为[1，e 2 ]．