Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA+2bcosB=0．（1）求角B的大小，（2）若b=3，

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA+2bcosB=0．（1）求角B的大小，（2）若b=3，求BA?BC的最小值．

Answer 1

（1）由acosC+ccosA+2bcosB=0及正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB=0…2分
∴sin（A+C）+2sinBcosB=0…3分
∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴sin（A+C）=sinB，…4分
∴sinB+2sinBcosB=0，…5分
∵sinB≠0，
∴cosB=-

1

2

，又0＜B＜π，故B=

2π

3

…6分
（2）由b=

3

及余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac…7分
a²+c²+ac=3…8分
∵a²+c²≥2ac，
∴3ac≤3，
∴ac≤1，当且仅当a=c=1时取等号…10分
∴

BA

?

BC

=|

BA

|?|

BC

|cosB=accosB=-

1

2

ac≥-

1

2

…11分
∴

BA

?

BC

的最小值为-

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