Question

已知椭圆M（焦点在x轴上）的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+42．（Ⅰ）

已知椭圆M（焦点在x轴上）的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+42．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4

2

，
所以2a+2c=6+4

2

，…（1分）
又椭圆的离心率为

2 2

3

，即

c

a

＝

2 2

3

，所以c＝

2 2

3

a，…（2分）
所以a＝3，c＝2

2

，所以b=1，
所以椭圆M的方程为

x2

9

+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）方法一：不妨设BC的方程为y=n（x-3）（n＞0），则AC的方程为y＝?

1

n

(x?3)．
由

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