Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）（1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；（2）

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）（1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；（2）若x∈[0，1]时，f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当θ∈[0，π4]时，a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（6分）
（2）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f′(x)≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥

3

2

，
由?3x2+2ax≥1?a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min＝

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

（12分）