Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．（1）当点D在BC的

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出．（3）过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．

Answer 1

解答：（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和△CFD中

∠B＝∠C ∠DEB＝∠DFC BD＝CD

，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）解：
有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD，
∵由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE=DF，BE=CF，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中

AD＝AD AE＝AF DE＝DF

，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∵在△ADB和△ADC中

AB＝AC AD＝AD BD＝CD

∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；
（3）CG=DE+DF
证明：连接AD，
∵S_三角形ABC=S_三角形ADB+S_三角形ADC，
∴

1

2

AB×CG=

1

2

AB×DE+

1

2

AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．