Question

关于奇偶性的问题

设函数f（x）在负无穷到正无穷上满足f（2-x）=f（2+x）,f(7-x)=f(7+x) 且在闭区间【0，7】只有f（1）=f(3)=0 求奇偶性
(2) 求方程f(x)=0 在【-2005，2005】根的个数 并证明

Answer 1

解：（Ⅰ） 由于f（2-x）= f（2+x）， f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7，即f（x）不是奇函数。
联立f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）
推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
又 f（1）= f（3）=0 ，而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数。
2.f(2-x)=f(2+x),得f(x)=f(4-x);
f(7-x)=f(7+x),得f(x)=f(14-x);
所以f(4-x)=f(14-x),得f(x)=f(x+10).
f(x)是周期函数,最小正周期为10.
当n为整数时,f(10n+1)=f(1)=0,f(10n+3)=f(3)=0,
其中-2005≤10n+1≤2005,-2005≤10n+3≤2005,
-200.6≤n≤200.4,-200.8≤n≤200.2,
这两个不等式分别有401个整数解,
即方程f(x)=0有802个根.