Question

如图，已知等腰三角形直角△ABC=90°，AC=BC=4,D为△ABC的一个外角∠ABF的角平分线上一点，

且∠ADC=45°，CD交AB于E。（1）求证：AD=CD（2）求AE的长

Answer 1

（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N，

∴∠AMD=∠CND=90°

∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，

∴DM=DN．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠CBA=45°．

∵∠ADC=45°，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠AED=∠CEB，

∴∠1=∠2．

在△AMD和△CND中，

∠1=∠2

∠AMD=∠CND

DM=DN

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴AD=CD；

（2）解：∵AD=CD，且∠ADC=45°，

∴∠ACD=∠DAC=67.5°，

∴∠1=22.5°．

∵∠AEC=∠1+∠ADC，

∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，

∴∠ACE=∠AEC，

∴AC=AE．

∵AC=4，

∴AE=4．

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